Apprendre les mathématiques n’a jamais été simple pour la plupart des élèves en classe. Sachez que le secret pour réussir ses épreuves en maths est de bien comprendre le sujet et en déduire un raisonnement logique. Aujourd’hui, nous allons nous intéresser particulièrement aux fonctions affines. Qu’est-ce que c’est ? Comment ça fonctionne ? Quelle est sa différence avec une fonction linéaire ? Toutes les réponses dans l’article suivant.

Définition des fonctions affines

Une fonction affine est une fonction de variable réelle, apprise en mathématiques élémentaires. C’est une fonction polynôme dont la représentation graphique est une droite définie par :

ƒ : R → R  x → ƒ(x) = ax + b avec a, b ϵ R

Dans l’expression, x est une variable, a et b sont des constantes. La valeur a est appelée coefficient directeur et la valeur b l’ordonnée à l’origine. Si a devient 0, la fonction devient une constante. Dans le cas où b est nul, la fonction devient linéaire avec une droite passant par l’origine du repère.

 

Comment trouver une fonction affine ?

Pour savoir comment déterminer des fonctions affines, nous allons voir en détails ses caractéristiques avec quelques exemples en guise de représentation.

 

Les caractéristiques d’une fonction affine

Une fonction affine est l’ensemble des valeurs permettant de résoudre l’équation y = ax + b sur un intervalle bien défini. La représentation graphique sera une droite de forme oblique à tendance croissante ou décroissante. 

On peut alors affirmer que f est la fonction qui avec une valeur de x correspond à l’équation ax + b, x étant l’antécédent. ax + b est dans ce cas la représentation graphique de x sur l’intervalle défini par la fonction f(x) = ax + b.

 

Par exemple : si f(x) = 3x, la droite représentative obtenue sera croissante. Tandis que si f(x) = -x, la droite représentative sera décroissante.

 

Déterminer une fonction affine

La détermination d’une fonction affine n’est pas compliquée si l’on connait la valeur des constantes, c’est-à-dire a et b. Nous allons prendre une fonction polynôme en guise d’exemple f(x) = 2x – 3. En tenant compte de la fonction, on peut dire que f(2) = 1, f(-2) = -7 et f(1) = -1.

Deux méthodes permettent de déterminer la fonction : à partir de la représentation graphique et par calcul. La méthode par graphique est généralement plus simple et plus pratique. Seulement, les graphiques ne sont jamais donnés en avance dans le sujet. Nous allons plutôt développer la méthode par calcul :

Si f est une fonction affine non linéaire, les valeurs de x ne seront alors pas proportionnelles à la fonction. Pour déterminer le coefficient directeur, avec x1 et x2 en servant de leur image.

X1 est alors égal à 0 et x2 égal à 2, donc f(x1) = -3 et f(x2) = 1. Procédons au remplacement des inconnues pour obtenir a = (-3 -1) / (0 -2) = 2 donc a = 2

 

Utilité des fonctions affines

A quoi peuvent bien servir les fonctions affines ? Eh bien, contrairement à ce que vous pouvez bien croire, les maths sont utiles pour de nombreuses choses que vous ne soupçonnez pas :

  • Les abonnements téléphoniques, avec une facture établie en utilisant des fonctions affines ;
  • La longueur d’un ressort lorsqu’il est au repos ou étiré ;
  • Les économies d’argent au quotidien peuvent très bien être calculées à partir d’une fonction affine.

 

Différence entre fonction affine et fonction linéaire

La fonction affine est très souvent confondue avec la fonction linéaire. Les deux polynômes présentent quelques différences. Pour faire simple, nous allons les distinguer :

 

Une fonction linéaire 

Les fonctions linéaires sont de la forme f : x → ax dans laquelle a est un nombre réel représentant le coefficient de la fonction linéaire ou coefficient de la proportionnalité. 

Sa représentation graphique est une droite passant à l’origine du repère. Si a est supérieur à zéro, la droite monte et si a est inférieur à zéro, la droite descend.

 

Une fonction affine

Les fonctions affines, comme évoquées plus tôt sont des fonctions sous la forme f : x → ax + b. Sa représentation graphique est une droite. Si a est supérieur à zéro, la droite est croissant et si a est inférieur à zéro, la droite est décroissante.

 

Trouver une fonction affine à partir de deux points

Pour déterminer une fonction affine à partie de deux points : avec f(1) = -1 et f(2) = 10. Pour déterminer a et b, garder la référence f(x) = ax + b. On a alors a + b = -1 et 2a + b = 10. 

Si l’on procède à la soustraction des deux équations, les deux b s’annulent, on a alors a = 11. Puis en prenant l’une des équations, on peut avoir b = -12. On obtient alors f(x) = 11x – 12